# Aritmética con números indeterminados Autor: Paynalton Fuente canónica: Idioma: es La aritmética tradicional se basa en tres ideas de la antigüedad: divinidad, dualidad y equilibrio. Bajo esas tres ideas la aritmética ha servido como base para entender el universo y sus fenómenos. Divinidad: Números reales Los números reales son bloques de información de capacidad infinita. Cada número puede dividirse de forma ilimitada, por lo que la cantidad de información que puede contener es ilimitada. Cada número es representado por un símbolo, la naturaleza y significado del símbolo depende del sistema numérico empleado. Por ejemplo, en un sistema binario 0 representa vacío y 1 representa no vacío. En este trabajo usaremos el sistema decimal. Dualidad: operadores Los operadores aritméticos permiten realizar operaciones entre números reales transfiriendo información entre un número real y otro para alterar así su valor. Los operadores se organizan por pares, para cada operación que realiza una acción sobre los números reales debe existir otra operación inversa que revierta dicho cambio. Voy a dividir los operadores por niveles, siendo cada nivel una evolución del nivel anterior, es decir que cada operación de nivel superior es un sistema conformado por varias operaciones de nivel inferior aplicando reglas específicas para delimitar sus efectos y campos de acción. Nivel 1 - Adición: permite unir dos o más números reales para crear otro número real que los contenga a todos. - sustracción: Permite extraer información de un número real para convertirle en otro número de menor valor. Nivel 2 \* multiplicación: adiciona varias veces un número sobre sí mismo para obtener un número cuyo valor es la suma de todas las adiciones. / división: Sustrae varias veces un número para alcanzar una cantidad cuyo valor multiplicado sería igual al número origina. Nivel 3 ^ potencia: multiplica varias veces un número sobre si mismo y, el número resultante, es multiplicado nuevamente por el número original. ¬ raíz: divide un número entre si mismo y el resultado es dividido nuevamente entre el número original. Equilibrio: igualdad. En toda operación aritmética el símbolo de igualdad(=) representa el equilibrio de una ecuación. El objetivo de toda operación es alcanzar la igualdad a través del establecimiento de todas sus partes en el orden y cuantificación correctas. Una operación aritmética resuelta tiene esta forma: 1 + 1 = 2 Esta operación está equilibrada y se considera como verdadera, en cambio una operación como esta: 1 + 1 = 3 Se considera falsa ya que no está equilibrada. Así pues la igualdad determina lo que consideramos como verdadero o falso. Existen otros símbolos además de la igualdad, incluyendo aquellos que aceptan cierta tolerancia en las operaciones para obviar la inexactitud aritmética, como por ejemplo: 7/3 = ~2.33 Ya que el valor resultante de dividir 7 entre 3 no puede ser representado con números reales. Igualmente podemos decir que 7/3 \> 2.33 7/3 < 2.34 O podemos simplemente obviar la inexactitud elevando la precisión al aprovechar la capacidad infinita de los números reales. 7/3 = 2.333333333333333333333 Aritmética con números indeterminados. La aritmética con números indeterminados no es un reemplazo de la aritmética tradicional, sino que supone un enriquecimiento al agregar un elemento que permite representar de forma más adecuada los fenómenos universales, dando así mejores herramientas para estudiarlos, comprenderlos y calcularlos. Números indeterminados Podemos considerar al número real como una unidad de almacenamiento de capacidad infinita delimitado y distinto de otros números. La diferencia entre un número y otro es la cantidad y naturaleza de la información contenida. Si tenemos, por ejemplo, un cierto número de cabezas de ganado, podemos almacenar en un número la información sobre la cantidad exacta de cabezas que tenemos y colocar un símbolo que represente dicho número. Así pues, el número real 5 representará la cantidad exacta de cabezas de ganado. En un plano bidimensional, el espacio puede ser definido como una serie de puntos alineados. ………. Al tomar uno de esos puntos como referencia, podemos medir la lejanía de cada uno de los puntos con respecto al punto de referencia y dicha lejanía definirla con un número real. -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 Ahora bien, si tenemos una partícula llenando un punto de vacío, podemos ubicarla espacialmente indicando directamente el número real que representa al punto del plano en el que se encuentra. 2 Para mover la partícula a través de este espacio bidimensional, debemos aplicar o eliminar energía, dando como resultado que la partícula se encuentre en un nuevo espacio al final del proceso. 2 + 3 = 5 Así tenemos que la partícula que antes se encontraba en el espacio 2, después de aplicar energía se encuentra en el espacio 5. Para llegar de 2 a 5 la partícula tuvo que pasar por una fase de indeterminación en la cual no estaba en 2 ni en 5 ni en ningún punto intermedio, sino que estaba siendo desplazada fuera del plano bidimensional para, al final de la aplicación, terminar en el espacio 5. Esta etapa de la partícula la podemos representar a través de un número indeterminado. 2 + \[2\|5\] = 5 Es decir, en el instante que iniciamos la aplicación de la energía la partícula abandona el espacio 2 y queda en un estado indeterminado hasta que dejamos de administrar energía y esta se determina nuevamente en 5. \[2\|5\] es un número indeterminado que espacialmente se ubica entre el punto 2 y el punto 5. Matemáticamente, un número indeterminado es un espacio de amplitud no definida que posee una cantidad infinita de determinaciones, y se encuentra limitada por los números reales que le rodean, siendo las determinaciones posibles limitadas por estos números reales. Así pues, \[2\|5\] es una cantidad ilimitada de posibles determinaciones que se encuentran en el camino entre el número real 2 y el número real 5. Decimos que \[2\|5\] es bidimensional porque está limitado sólo por dos números reales. Un número indeterminado puede tener múltiples dimensiones dependiendo de la cantidad de números reales que lo delimitan. \[2\|5\|8\] - Número indeterminado tridimensional \[2\|5\|8\|11\] - Número indeterminado tetradimensional Un número indeterminado puede ser simétrico o asimétrico. Consideramos a un número indeterminado como simétrico cuando todas las determinaciones son igual de posibles. Cuando existe una tendencia de determinación, el número indeterminado se considera asimétrico. Una tendencia se representa colocando una potencia sobre el número real hacia el cual se dirige la tendencia. El número \[2\|57\|32\] tiene una tendencia hacia la determinación más alta hacia el número real 5 y más baja hacia el número real 2. Cuando tenemos resultados que nos llevan a una asimetría en todas las dimensiones, podemos resumir la asimetría para facilitar los cálculos. \[27\|53\|32\] = \[25\|52\|3\] Un número indeterminado bidimensional simétrico puede ser fácilmente reemplazado en álgebra con una literal. 2 + \[2\|5\] = 5 2 + x = 5 Sin embargo cuando el número tiene más de dos dimensiones o su tendencia es asimétrica, una literal no será capaz de representar las características de un número indeterminado. Esto resulta especialmente útil al abordar problemas del mundo real en que no podemos obtener una repetición exacta de resultados. Volvamos al ejemplo de la partícula que se mueve de 2 a 5. En un mundo ideal podemos administrar la cantidad exacta de energía que se requiere para pasar de 2 a 5 sin desperdiciar nada, de manera que sería fácil representar la cantidad de energía que utilizamos llegando así a una determinación. 2 + \[2\|5\] = 5 2 + 3 = 5 Pero en la realidad podemos tener fluctuaciones de energía, contaminación ambiental y fenómenos físicos aún desconocidos que alterarían nuestros resultados, así que si repetimos el experimento varias veces y tabulamos los resultado tendríamos que no siempre el resultado es el mismo | Posición inicial | Posición final | |------------------|----------------| | 2 | 5 | | 2 | 6 | | 2 | 5 | | 2 | 5 | Estos resultados podemos definirlos usando números indeterminados de la siguiente manera: 2 + x = \[53\|6\] En este caso hemos usado x para representar a un número indeterminado del cual no conocemos sus dimensiones ni su tendencia. Podemos conocer las características de x con una operación algebráica sencilla: 2 + x = \[53\|6\] x = \[53\|6\] - 2 x = \[2\|53\|6\] y sustituimos: 2 + \[2\|53\|6\] = \[53\|6\] Esto significa que al mover la partícula desde 2 a través del número indeterminado \[2\|53\|6\], la partícula podrá encontrarse en la posición 5 ó 6 teniendo mayor tendencia de aparecer en 5. Un número indeterminado también puede crecer en complejidad al tener como limitantes a otros números complejos además de números reales, creando así un árbol de indeterminaciones. \[\[2\|3\]\|\[4\|5\]\|6\] Operaciones Aritméticas con números indeterminados Adición Un número indeterminado se encuentra limitado por números reales. Cuando se disminuye la cantidad de números reales que limitan al número indeterminado, este tenderá a la determinación. Adición de un número real a un número indeterminado. Ya que la naturaleza del número real es contraria a la naturaleza de un número indeterminado, la suma de ambos hará que el número real tienda a la indeterminación y un número indeterminado tienda a la determinación. Así pues tenemos que: 2 + \[2\|5\] Provocará que \[2\|5\] tienda a la determinación. 2 + \[2\|5\] = 5 Esto sucede cuando agregamos a un número indeterminado un número real que en realidad ya lo está limitando, pero cuando agregamos a un número indeterminado un número real que no está dentro de sus límites, lo que hacemos es hacer crecer su indeterminación. 2 + \[4\|5\] = \[2\|4\|5\] En el caso de números indeterminados asimétricos, el comportamiento dependerá de la naturaleza de la indeterminación. 2 + \[22\|5\] = \[2\|5\] 2 + \[2\|53\] = \[53\] = 5 2 + \[42\|5\] = \[2\|42\|5\] Adición de dos números indeterminados. Cuando unimos dos números indeterminados, estos tenderán a la indeterminación, por lo que aumentará la cantidad de números reales que delimitan al número resultante. \[2\|5\] + \[3\|4\] = \[2\|3\|4\|5\] Cuando unimos dos números que comparten límites, los límites cambiarán la simetría del número indeterminado resultante. \[2\|5\] + \[3\|5\] = \[2\|3\|52\] Debido a esto, al sumar dos indeterminaciones exáctamente iguales, el resultado será la misma indeterminación. \[2\|5\] + \[2\|5\] = \[22\|52\] = \[2\|5\] Sustracción Un número indeterminado se encuentra limitado por números reales. Cuando se aumenta la cantidad de números reales que limitan al número indeterminado, este tenderá a la indeterminación. Sustracción de un número indeterminado a un número real. Ya que la naturaleza del número real es contraria a la naturaleza de un número indeterminado, la resta de ambos hará que el número real tienda a la determinación y un número indeterminado tienda a la indeterminación. Así pues tenemos que: 2 - \[2\|5\] Provocará que \[2\|5\] tienda a la indeterminación. 2 - \[2\|5\] = -\[22\|5\] Si ponemos esto en nuestro ejemplo anterior, podríamos decir que si administramos energía negativa a una partícula que se encuentra en 2, esta tenderá a la inexistencia con una mayor probabilidad de convertirse en la versión antipartícula de sí misma. En cambio, si aplicamos energía a una antipartícula: \[2\|5\] - 2 = \[22\|5\] Tendremos una mayor probabilidad de que esta se convierta en su versión partícula. Sustracción de dos números indeterminados La sustracción de números indeterminados, al igual que la adición, nos lleva a la indeterminación. Esto se debe a que en la indeterminación o se aplican las reglas de la dualidad. Un número indeterminado no es positivo o negativo, aunque los números reales que lo delimitan sí pueden serlo. Debido a que los números reales positivos son distintos de los negativos, el unirlos sólo aumentará la indeterminación. \[2\|5\] - \[3\|6\] = \[2\|-3\|5\|-6\] Sin embargo, dos números reales opuestos pueden cancelarse a sí mismos, lo cual llevará a la determinación. \[2\|5\] - \[3\|5\] = \[2\|-3\|5\|-5\] = \[2\|3\] Por tanto, enfrentar a un número indeterminado contra otro cuyos números reales sean exáctamente la antítesis de los suyos, nos llevará directamente a la determinación, ya que 0 es también una determinación. \[2\|5\] - \[2\|5\] = 0 Lo mismo sucede si tras la operación nos queda un número real distinto de 0. \[2\|3\|5\] - \[2\|5\] = 5 Adición y sustraccion combinada entre números indeterminados Debido a que los números reales que delimitan un número indeterminado pueden estar en cualquier punto de la recta, las operaciones de adición y sustracción se manejan de forma individual actuando directamente sobre las probabilidades. \[2\|3\|5\] + \[2\|-3\|-5\] = \[3\|5\] \[2\|3\|5\] - \[2\|-3\|-5\] = \[22\] = 2 \[2\|33\|5\] + \[2\|-3\|-5\] = \[34\|5\] \[2\|33\|5\] - \[2\|-3\|-5\] = \[22\|32\] = \[2\|3\] Adición de árboles de indeterminación. Cuando trabajamos con árboles de indeterminación, estos tenderán a la determinación o indeterminación al actuar sobre cada una de las troncales del árbol de indeterminación. 2 + \[\[2\|3\]\|\[4\|5\]\] = \[2\|\[2\|5\]\|\[4\|5\]\] \[2\|3\] + \[\[2\|3\]\|\[4\|5\]\] = \[4\|5\] \[\[2\|3\]\|\[4\|\[6\|7\]\]\] + \[\[2\|3\]\|\[4\|5\]\] = \[\[4\|5\]\|\[4\|\[6\|7\]\]\] Multiplicación de números indeterminados. En el caso de las multiplicaciones, debido a la diferencia entre la naturaleza de los números reales y los números indeterminados, el resultado dependerá del orden de los factores. Multiplicar un número indeterminado por un número real. La suma de un número real más si mismo dará como resultado el mismo número. Esto debido a que las sumas actúan sobre la simetría del número indeterminado, y si la simetría es afectada por igual en todas sus dimensiones entonces no sufriŕa cambio alguno. \[2\|3\] \* 5 = \[2\|3\] + \[2\|3\] + \[2\|3\] + \[2\|3\] + \[2\|3\] = \[25\|35\] = \[2\|3\] En cambio, la suma indeterminada de un número real dará como resultado una serie de longitud infinita de múltiplos del número real. x \* \[2\|3\] = lim f(x)/x-\>∞ Si hablamos de la suma indeterminada de un número indeterminado, nuevamente el resultado será el mismo número indeterminado. \[2\|3\] \* \[4\|5\] = \[2\|3\] \[4\|5\] \* \[2\|3\] = \[4\|5\] Debido a que según el orden de los factores tendremos un producto distinto, podemos resumir los distintos resultados en un número indeterminado compuesto para así permitir cualquier orden de factores. 5 \* \[2\|3\] = \[2\|3\] \* 5 = \[\[2\|3\]\|lim f(5)/5-\>∞\] \[2\|3\] \* \[4\|5\] = \[4\|5\] \* \[2\|3\] = \[\[2\|3\]\|\[4\|5\]\] División Como un número indeterminado al ser multiplicado da como resultado a sí mismo, este se nos muestra como inmultiplicable. Por tanto un número indeterminado es también indivisible. \[2\|5\] / 2 = \[2\|5\] En cuanto a la división indeterminada de un número real, esta se presenta como un número imaginario hasta que la indeterminación no sea resuelta. 2/\[2\|5\] = 2/\[2\|5\] Potencia Elevar cualquier número indeterminado a cualquier potencia, sea real o indeterminada, dará como resultado el mismo número indeterminado. \[2\|5\]2 = \[22\|52\] = \[2\|5\] \[2\|5\]\[2\|5\] = \[2\[2\|5\]\|5\[2\|5\]\] = \[2\|5\] Elevar un número real a un número indeterminado será un número imaginario hasta que no se resuelva la indeterminación 2\[2\|5\] Raíz La raíz de cualquier número indeterminado, ya sea real o indeterminada, determinará el número a 0. `\2|` \[2\|5\] = 0 `\[2|5]|[2|5]` = 0 La raíz indeterminada de cualquier número real es un número imaginario hasta que no se resuelva la indeterminación `\[2|5]|9`